自从德国数学家康托尔提出的集合论被世人广泛接受后，用集合的对应关系来表示函数概念渐渐占据了数学家们的思维。通过集合的概念把函数的对应关系、定义域以及值域进一步具体化。1914 年豪斯道夫在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数;库拉托夫斯基在 1921 年又用集合论定义了“序偶”。这样就使得豪斯道夫的定义更加严谨。
1930 年，新的现代函数定义为：若对集合 M 的任意元素X 总有集合 N 确定的元素 Y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 Y=f（x）。元素 x 称为自变量，元素 Y 称为因变量。
一、当前高师数学系学生教师素质的结构性缺失
当代教育和新课程改革，引发了全社会对教师角色期望的大幅度提升，这使得人们密切关注着我国师范生素质的现状及存在的问题。笔者于今年3月分别以白城师范学院数学系lOO名实习学生和50名现任中学数学教师的毕业生作为样本，进行了教师素质现状的调查，结果发现问题如下：
1、敬业精神不强
很多人没有把教师当作一种促进社会与个体和谐发展的神圣职业，而是把教师职业当作一种谋生手段。主要表现在：
(1)敬业和奉献精神不强，如对“是因为热爱教育事业而选择教师职业”的人仅占19％。
(2)对教师的地位与作用认识不明确，如对“教师地位很高”这一问题回答持否定态度和模糊态度的分别占42．9％和42．7％。
(3)专业思想不牢固，如对“有其他机会，是否改行”问题，持肯定的人占30％。
(4)教学思想不端正，只注重学习好的学生的教师占现任教师的50．3％。这反映了我国教师教育在学生培养过程中过度强调知识而忽视人格塑造的状况，即重智育轻德育。
2、知识结构不合理
大量的师范生在知识结构上存在严重的不合理现象，主要表现在：
(1)学科课程过深、过多、过专。
(2)基础学科方面的知识过窄、过旧，缺乏人文科学基础，也就是重专业轻基础、重科学轻人文，如对“科技文化基础知识基本能适应中学教学”这个问题39．3％的人表示“模糊”。
(3)重学科课程而轻教育理论课程。教师普遍缺乏现代教育理念，很多人对教育的本质和价值“不理解”或“模糊，”，有45％的人对我国的教育目的表示“模糊”，有38．3％的人不懂教育的历史．这说明了教师的教育基础理论知识缺乏，既反映了师范院校教育专业训练薄弱，教育课不受重视的程度，也反映了教师对教育理论的学习和教育实践的研究不够重视等倾向。
3、教育实践能力差
从调查结果发现，师范生实践能力普遍比较低下。38％的教师不经常与学生谈话和与学生接触，70％以上的人不大使用信息交流技术。对毕业生跟踪调查显示，他们刚参加工作时，教学工作能力和研究操作能力均差，如班主任工作、现代化教学手段应用和教育科研合格率均低于60％。产生这些问题的原因是我国的高师教育在课程上侧重理论知识传授，缺乏对学生教育实践能力的培养，脱离基础教育实际需要。
4、创新意识不强，科研能力较差
由于我国高师教育长期忽视师范学生的科研能力培养，没有让他们接受特定的创造性思维训练，致使他们在教育、教学活动中创新意识薄弱，科研能力缺乏。调查表明，师范毕业生由于缺乏创造能力和个性，照本宜科现象普遍存在，在教育教学上引发了一系列令人担忧的问题：教育教学思想观念陈旧，害怕变革，用统一的“模型化”目标要求学生，局限于单一模式，排斥多元化教学模式，否定学生的独立性与批判性，实行满堂灌教学，让学生处于被动地位，以分数作为评价的唯一标准，忽视对学生综合素质的评价等。
二、高师数学系学生优化素质结构的对策
进入21世纪以后，不少国家在进行教育和课程改革时，都不约而同地把提高教师素质和能力作为突破口，因为未来学校的发展和教育质量、人才质量的提高，在很大程度上取决于教师的素质和能力。随着社会的发展，我国的数学教师正处在从非专业化向专业化的历史性转变之中，这必然要求数学教师建构起新的优化的素质结构。
那么，在新课程下，作为未来数学教师的高师数学系学生应该具备什么样的素质呢？
1．应具有过硬的思想政治素质和职业道德素质
数学教师要有过硬的思想政治素质和高尚的职业道德。教书育人是教师的天职，教师的师德言行、敬业精神，必将潜移默化地影响到学生。数学是一门抽象而又枯燥的学科，数学教师要耐得住寂寞，有无私奉献的精神。当一个教师把自己的生命和激情倾注到其职业中时，便会在其举手投足、一颦一蹙之间充满深厚真诚的“师爱”。这样的教师就会让学生对其产生超乎寻常的向心力和信赖感，就会让学生在其灵魂深处生发一种高度自觉的内驱力和自策力，就会赢得学生的心理认同和由衷敬佩。
2．应具备精湛的专业素质
笔者认为，教师至少应当具备三方面的专业素质：专业知识、专业技能、专业情意。在新课程改革中，无论教师的角色如何变换，数学教师的专业素质都应摆在突出的位置。数学是一门逻辑性很强、专业性突出的学科，数学教师需要具有深厚的专业知识和广博的知识背景，同时更要具备数学能力。瑞典心理学家韦尔德林将数学能力定义为符号、方法、证明的本质，并在记忆中保持和再现它们，把它们与其它问题；符号、方法和证明联系起来以及运用它们解决数学(和类似的)课题的能力。由此可见，数学教师需要空间的、计算和数的、归纳演绎和推理的专业能力。同时，在新课程改革中，由于课堂教学变得更加开放、自由，教学过程充满了变数或不确定性，为此教师必须具有驾驭动态的课堂教学的能力和智慧，具有深厚的专业知识以及创新精神和实践能力，具有师生共同发展的和谐能力。只有这样，才能使课堂真正成为“适合学生学”而不是“适合教师教”的场所。
3．应成为学习者、研究者和反思实践者
在“知识爆炸”的时代背景下，知识随时间呈几何级数增长的现象，已经使得百科全书式的教师成为历史；而信息时代的到来，则摧毁了“教师是知识垄断者”的基石。这样，教师作为一种职业得以维持的基础，就从“已有的知识经验”转化成了“持续的学习”。普通高中数学课程标准(实验)中，有“信息安全与密码”、“球面上几何”、“欧拉公式与闭曲面分类”、“统筹法与图论初步”、“风险与决策”、“开关电路与布尔代数”、“数学建模”等新内容，新课程这些改革的内容要求数学教师必须是一个学习者。同时数学教师也应该是研究者。这是因为在新课程观下，数学教师要在实践中研究学生的学习特点，在沟通中研究学生的思考模式；要研究当代数学潮流，研究新的数学课题；要研究如何使由执行课程计划和依据教学大纲(新课程改革中称“课程标准”)讲授教材的被动执行者转变为主动参与的课程研制者。数学教师更应是反思实践者，因为这里的“反思”不仅仅是一般地回想教学情况，而是深究处于课程处置、教学决策和技术以及伦理等层面的教学主体、教学目的、教学工具等方面存在的问题。要在新课程改革的实践中进行自我反思，从教学前、教学中、教学后等环节获得体验，以便为新课程改革提供有益的经验。
4．应具有创新精神与合作精神
教育创新是社会和时代的要求。新课程观强调数学教师应具有创新精神和合作精神至少有以下理由：
一是基础教育新课程改革培养目标的要求。基础教育新课程改革的培养目标明确规定：“课程的培养目标应体现时代要求。要使学生具有初步的创新精神、实践能力、科学和人文素养以及环境意识。”数学教师应多方面、多角度、多起点、多原则、多结果地去思考问题，保护和引导学生求异思维，努力培养学生的敏锐性。
二是基础教育新课程改革强调数学学科内外综合的结果。基础教育课程改革中一方面强调要改革和建立分科课程，另一方面强调要加强课程内容的综合性，淡化学科界限，加强课程内容与现实生活和学生经验的联系，增进学科之间知识和方法上的联系。数学教师不仅要教好自己的学科，还要主动关心和积极配合其他学科教师的教学，合力育人，这既有利于学生知识的学习，也有利于增强学生数学的应用意识，提高学生的数学应用能力。
三是基础教育改革设立实践与综合运用专题的需要。《数学课程标准》中提到的“学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、严整、推理与交流等数学活动”等；不仅要使学生获得数学知识，更重要的是要使学生认识到数学原来就来自我们身边的现实世界，是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器；这些数学活动，同时也会使学生获得进行数学探究的切身体验和能力。
国运兴衰在于教育，教育成败在于教师。高师数学系学生必须不断学习，与时俱进，严格要求自己，提高自身素质，以不负时代所赋予的使命。
一、培养数学学习兴趣在小学数学教学中的重要性
数学是其他自然科学的基础和保证，因此，学好数学对于学生以后其他学科的学习具有非常重要的现实意义、小学数学主要是促进学生在幼年时期接受数学教育，进而为将来的数学学习奠定基石，因此，培养小学生对于数学的学习兴趣显得非常重要、处于7~12岁年龄段的小学生是各项认知技能都在快速发展的阶段和人群、在这一年龄阶段，其学习数学知识的能力会随着其兴趣而得到不同的发展、如果学生因为缺乏学习兴趣，产生厌学心理，就会对其今后的发展造成不可修复的伤害、教育和教学就是培养人和塑造人的一门科学，所以说，好的教育教学是会使得人的全面发展得到增强。
二、在小学数学教学中培养学生学习兴趣的方法
1、必须要实行的原则
在小学数学教学中培养学生的数学兴趣是一个重要的教学问题，它必须与学生的知识结构一致和协调，符合学生的身心发展和全面发展，那么，我们就必须必须遵循和执行一定的原则：
（1）适应性原则
适应性原则要求在小学数学教育的日常活动中，学习兴趣是关键，那么，我们就需要以此为原则来不用该年龄阶段的知识去引导学生的努力方向、比如说，现在小学阶段，那些小学奥数比赛已经非常流行了、这些所谓的奥数竞赛，不符合小学生的学习阶段和知识结构，很多题目大大超出他们的知识范围、但这在校园里却是一种很普遍的风尚，这种错误的风尚打击了一大部分学生，使他们发出“数学难”的呼声、这样的学习榜样当然值得肯定，但不适宜在推广而后实施，也不利于培养学生学习数学的积极性和兴趣。
（2）发展性原则
发展性原则是为了培养学生学习数学的兴趣来结合社会的生活和学生的身心特点双重因素、那么，启发学生思考的问题要符合学生知识结构，既不能太简单也不能太难，主要是要联系理论知识与现实生活，促进学生的全面发展、此外，让学生在学习过程中既感到有挑战性，又感觉到好玩和有成效、这样，学生在数学课堂上的学习中不但能学到一定的知识，又有了继续学习的欲望和兴趣，为以后的学习和生活打下了良好的基础，是实现促进学生全面发展的教育目的。
2、所采取的方法
以根本原则为基础，以具体措施为方法来有针对性地达到教学目标、例如：我们在小学数学的教学过程中可以采取趣味性的教学方式，激发学生的学习兴趣、从小学数学的教学学习环境来说分成两个部分，一是课堂教学，二是课外思考和课外作业、在课堂教学中，应该：
（1）每名学生都积极参与
老师在授课的过程中，要以所教知识与学生的现有认知水平为基础，设计师生共同参与的学习模式，让所有学生参与其中，提高其学习的主动性和效率。
（2）不同的成功体验
让每一名学生都有自己对成功的体验，老师通过教学情境的创设来区别对待，并根据学生不同学习程度和学习能力因材施教，这样所有程度的学生都能获得成功的喜悦、数学这一学科具有系统性和连续性，所以说，循序渐进、激励优生和表扬后进生都是可行之策，每一名学生都会体验到自己的成就感来获得喜悦之情，更能激发学生学习的积极性和主动性。
（3）积极表扬和鼓励
小学生具有年龄小和争强好胜的特点以及荣誉感，所以，在教学的活动中，教师要发现学生的闪光点和优点来加以表扬、特别是，在学生取得进步时，教师要及时给予表扬和鼓励，这样就会使得学生们不断保持学习兴趣。
（4）趣味性课堂活动
教师可以组织一些趣味活动、首先是重视直观的教学方法，例如在教授小学一年级“加减法”的时候，可以让同学们自制一些小工具，这样课堂上玩耍的过程中就学会了知识，同时也使学生学习变得直观化和简单化、其次，我们教师在日常的教学中，尽量将一些大家都熟悉的生活场景引入到课堂来，通过生动有趣的故事，在中间穿插一些数学知识，并通过模型、实物等教具，配合多媒体等教育设施，形象而又直观地引导学生去掌握新知识、在课堂外，应该：给学生创造自由的发展空间、因为小学数学学科本身以理解为主，只要在课堂上真正理解消化了，我们可以适当地减少家庭作业、毕竟在如此小的年纪搞题海战术实在不是一件痛快的事。
为了保持学生在课堂中的热情和兴趣，尽量不要给学生的课外生活布下阴影、课外作业以质量取胜、适量的人性的家庭作业能够使学生对数学这一重要学科保持持久的正面的重视、所以我们在给小学生布置数学课外作业时，必须对题量和题型做细致的考察、归根到底，作业的意义就是为了发现问题并解决问题，而不是作为惩罚学生的硬性指标。
一、课题的来源及意义
通过对《数学分析》和《复变函数》的学习，我了解到《复变函数论》中的许多知识都是在《数学分析》基础上延伸、拓展的，而复积分在很大程度上说，它就是把实积分的变量范围拓宽了，即在复数域中进行积分。积分学是在古代东西方微积分思想萌发和微积分创立前夕欧洲的思想社会背景的基础上，经过多代数学家研究、探索最终形成完整的数学理论。实积分与复积分的比较研究是值得我思考和研究的一个课题。
积分学是函数论中的一个重要内容，无论是实积分还是复积分，都是研究函数的重要工具，而且在几何、物理和工程技术上，都有着广泛的应用。复积分是复变函数论中的一个重要部分，它在研究复变函数，特别是解析函数时所起的作用远远超过实积分在研究实变函数时所起的作用。无论是在研究复变函数、微分、级数，还是它们的各方面应用，都用到复变函数的积分理论。复积分是实积分的推广，而实积分的计算又用到复积分，因此，比较研复积分和实积分性质和应用对于深刻理解复变函数的理论，并用利用这些理论来解决数学及其他学科中的各种实际问题，都是有十分重要的意义。
二、国内外发展状况及研究背景
国内许多数学家对积分学进行分析和研究，而且许多大学教师也对复积分和实积分进行研究。陇东学院数学的完巧玲就对“利用复积分计算实积分”进行了全面的研究，而且还发表过相关的论文;陕西教育学院的王仲建也发表过“实积分与复积分的联系与区别”的相关论文。国外对积分学的研究要比国内的研究更广泛和深远。实积分和复积分是积分学的具体内容，现代的积分与以前的积分有着一定的区别，但它却是在以前的基础上，经过多代数学家的完善而形成的。积分学最初起源于微积分(微积分起源于牛顿、莱布尼兹)，微积分的核心概念是----极限，这个理论的完善得力于19世纪柯西和魏尔斯特拉斯的工作。17世纪利用积分学求面积、曲线长始于开普勒，他发表了《测量酒桶体积的新科学》。托里拆利、费马、帕斯卡等数学家对以前的积分进行了缺点修补和完善使得积分更接近现代的积分。积分不仅是研究函数的工具，而且在其他方面如几何、物理和工程技术上也有广泛的应用。
三、课题研究的目标和内容
通过对实积分与复积分的比较研究这个课题的研究，熟悉和掌握实积分和复积分的概念和类型，并对其进行分类、归纳，找出它们之间的区别与联系，并了解复积分和实积分的相关应用。
(1)实积分和复积分比较研究课题的研究背景、该课题目前国内外展的状况以及该课题研究的意义等。
(2)实积分和复积分的相关概念(定积分、曲线积分)及它们的性质和计算方法。
(3)对实积分与复积分的定义、性质、计算方法、应用方面进行比较;实积分与复积分的联系(应用复积分来计算实积分，结合例题进行分析、说明)。
四、本课题研究的方法
课题将通过分析、对比、综合等方法对实积分与复积分进行比较研究，最后通过例证说明利用复积分可以解决一些实积分问题。
五、课题的进度安排：
第一阶段：搜集资料，确定选题范围，联系指导老师(20XX秋1--7周)
第二阶段：选定题目、填写开题报告，准备开题 (20XX秋8--12周)
第三阶段：指导教师指导调研、收集资料、准备撰写初稿 (20XX秋13周--20XX春6周)
第四阶段：撰写初稿、在指导老师的指导下修改论文 (20XX春7--14周)
第五阶段：提交论文，准备答辩，论文总结 (20XX春15--16周)
摘 要：《数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。因此，教师要以学生的生活和现实问题为载体和背景，以学生的直接体验和生活信息为主要内容，把教科书中的数学知识巧妙而灵动地转化为数学活动。
关键词：应用数学；走进生活；数学活动
《义务教育数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。因此，教师要以学生的生活和现实问题为载体和背景，以学生的直接体验和生活信息为主要内容，把教科书中的数学知识巧妙而灵动地转化为数学活动。引领学生通过自主探究、合作交流等实践活动，发现、理解、掌握数学知识，并在运用所学知识解决实际问题的过程中形成技能，提升能力。下面结合自己的教学实践，谈几点粗浅做法与思考。
一、走进生活，应用有价值的数学知识
数学来源于生活，离开了生活，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的。同样，生活离开了数学，那将是一个无法想象的世界。因此，在教学中，应从学生的生活经验和已有知识出发，巧妙创设真实的生活场境，提供大量的数学信息。这样，既让学生感受到了数学与生活的密切联系，又彰显了数学鲜活的生命力，促使学生萌生主动运用数学解决实际问题的意识。
（一）课前调查，萌发应用意识
教师要善于把日常生活中遇到的问题呈现在学生面前，引领学生用数学的眼光观察生活，为数学知识的学习收集素材，让学生在生活的每个角落都感受到数学的存在，切实体会到数学渗透在我们生活的方方面面，促使学生自觉地将数学与生活联系起来，萌发应用意识。例如，教学“百分率”这一内容，课前，我设计了让学生开展调查活动，了解我们生活中哪些地方可以用百分数，是怎样用的？由此，学生收集了大量的资料：衣物成分含棉量、某种酒的度数、工厂产品的合格率、树木的成活率等。并且由于兴趣盎然，一些学生通过上网查阅或请教父母，了解了其中的意义及在生活中怎样应用。课上，一张张记录着学生收集调查结果信息的纸条，喜滋滋地摆在桌面上，这些是他们对生活知识的收集和提炼。学生结合课前收集的信息和老师提出的问题积极投入到探究知识的过程中，直接切入本课知识重点。在收集信息中，学生了解的是社会，深入的是生活实践，观察能力、逻辑能力和推理能力得以明显提高，求百分率这个知识重点，在学生头脑中也就水到渠成地理解了。所以培养学生收集信息的能力，从日常生活入手学习知识，既激发学生的学习兴趣，又促进对新知识的理解，并为培养学生的实践能力迈出坚实的一步，让他们善于“发现”问题，他们才会善于“解决”问题，同时也培养了学生的应用意识。
（二）创设场景，培养应用意识
现实生活是孕育数学的沃土，学生周围的现实世界应成为探索的源泉，数学知识的学习应当源于学生的现实生活。教学中，教师要着力于研究学生的生活背景，致力于捕捉生活背景与学习材料之间的内在联系，帮助学生主动寻求新知识的生活原型，使学生借助生活中的实际情境来学习、理解、感受数学，为新知识的应用找到生长点。因此，恰当地创设场景，让学生置身于现实生活之中，立足于实际需要中去寻求知识，向学生渗透应用数学的思想，增强学生的实践意识，感受数学应用的广泛性和普遍性。如教学“元、角、分的认识”，我把本课的教学设计成四个层次进行：
（1）活动前，教师为每组学生准备零币（一分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元等）；
（2）活动开始，把准备好的人民币发给学生，让学生自己来认识这些人民币；
（3）活动中，组织学生到校外的“超市”去购买商品，每样商品多少钱（分别用分、角来表示），余、缺多少钱。这样教学不仅使学生认识了元、角、分，知道了1元=10角，1角=10分，会进行换算，而且体验到数学知识与日常生活的密切联系，从而培养了学生喜爱数学，学好数学的情感。
（三）亲历体验，增强应用意识
数学教学应从学生熟悉的生活现实出发，从具体的问题到抽象的概念，得到抽象化的知识后再把它们应用到现实情境中，通过学生的亲身体验，增强学生的应用意识。比如，在家庭生活中，小学生有较为丰富的数学生活背景，如买菜、去超市购物、收存零钱、用好压岁钱等都是学生非常熟悉的生活情节，但学生很少用数学的眼光去观察、分析、判断、选择和策划家庭生活中的数学问题。因此，当学生学习了数学知识后，教师应引导学生用所学的知识分析、解释家庭生活中的数学现象，解决家庭生活中的数学问题，使学生深刻地体会到数学巨大的应用价值和魅力。例如，我在教学“乘法应用题”之后，启发学生按下表把自己或家里买的东西记录下来，并列出算式。
在操作中，学生对“单价、数量、总价”的含义及互相间的数量关系有了进一步的理解，一些学生还从自己的表中发现“当花的钱一样多时，买单价贵的物品就买得少，买单价便宜的物品就买得多”的函数思想。实践证明，只有通过学生自己探究、概括的知识，才能真正纳入他们已有的认识结构，获得深刻的理解，也更便于应用。把学生自己的自主探究、概括活动放到他熟悉的生活中，他会更感兴趣，也易于更快地探究、理解到知识的实质。
二、走近学生，倡导有效的学习方式
“授之以鱼，只供一饭之需；授之以渔，将会受用终身。”教师不仅要教给学生知识，更重要的是要教会学生获取知识的方法和本领，要让学生在自主探索的过程中发现问题，理解问题，分析问题，寻找解决方案，并逐步建构自己的知识结构。
（一）以旧悟新，巧妙迁移
在教学实践中，为了让学生真正掌握学习的主动权，作为教师应把指导学生的学习方法作为教学的首要任务，对每节课都要有明确的学习目标，让学生带着学习任务去学每节课应掌握的知识，同时还注意教给学生学习各种知识的方法。例如，教学“小数乘法”时，在让学生学懂小数乘法意义上，要求学生做到：想、比、算，即想整数乘法计算法则，比整数乘法的意义、计算法则与小数乘法意义、法则有什么相同点和不同点，计算要准确无误。通过分组讨论或同桌相互讨论，使多数学生掌握了这个新知识，但还有少数学生对积的小数点搞不清楚，这时我重点释疑，告诉他们怎样看因数中一共有几位小数，如何从积的右边起数几位、点上小数点，这些学生一下子就明白了。整个教学过程不是学生单纯接受教师的灌输，而是在教师的引领下积极思考，促进了学生由“学会”到“会学”的转化。 （二）操作体验，巧建概念
如何让学生从“学数学”变为“做数学”，是教师面临的新课题。让学生“自主探究、合作交流”，主动获取知识，学会学习，已成为共识。因此，在教学中教师应力求为学生营造一个发挥自主性、能动性的环境和条件，使学生真正成为学习的主人，亲历数学学习过程，在不断的体验与创造中学习。比如，在教学有关概念时，教师要根据教学内容有目的地给学生提供适当的实物或模型进行演示。如教学“认识长方体的面、棱、顶点”等概念时，可让学生准备一个小萝卜、一把小刀，师生一起切萝卜：先直着向下切一刀，把萝卜分成两块，让学生摸一摸其中一块的面；切面朝下，再直着向下切一刀，引导学生观察发现，两个切面相交形成了一条线，这就是棱；最后横着向下切一刀，让学生再观察发现，三个切面相交形成三条棱，这三条棱又相交成了一个点，这就是顶点。学生通过动手操作、观察感知，此时对面、棱、顶点等概念已有初步体验，其感性认识已很丰富。这时教师再出示长方体模型 ，并从模型中抽出长方体的骨架展示在学生的眼前让其观察，学生观察发现长方体有12条棱，每个顶点由3条棱相交而成，它们分别是长方体的长、宽、高，12条棱可以分成3组，每组相对的4条棱的长度相等。再把长方体的6个面展开，学生便直观地看到长方体相对的两个面完全相等等特征。在这一实践活动中学生手脑结合，既建立了概念，又学到了解决问题的策略，发展了智力、培养了实践能力。
（三）以形表数，感悟算理
数学教学中，每一部分知识都有一定的难点，如何突破教学中的难点是帮助学生解决问题的关键。在一些数学知识的教学过程中，教师可以借助几何直观来化解教学难点，使教学难点变得易于理解和掌握。如教学“一个数乘分数”时，理解和掌握分数乘法的计算法则（算理）是本节课的教学难点。为了解决这一问题，教师可以引领学生借助图形来帮助理解。其活动流程设计如下：
（6）请同学们认真观察黑板上各算式，并结合自己动手折纸的过程，看看有什么新的发现，并把你的发现与同桌相互交流。
这个教学过程把一个高度抽象化的知识转化为学生的已有经验，学生通过折纸有效地把形和数紧密地联系起来，灵动地将形转化为数学符号（即算式）。使学生在经历抽象――直观――抽象的探索过程中，在理解其意义的同时，真切感悟了计算分数乘分数时为什么是“分子乘分子，分母乘分母”的道理。
实践证明，“纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行”。要想让学生真正理解数学知识，教师务必引领学生经历有层次的数学活动，获得真切的数学实践体验。这就要求教师在教学实践中要积极创造条件，为学生创设生动有趣的生活、操作等活动场景，来帮助学生学习，鼓励学生善于去发现生活中的数学问题，养成运用数学的眼光观察和分析周围事物的习惯，并学会运用所学的数学知识解决实际问题，让学生在学用相融的过程中，最终获得数学素养与生命质量的整体提升。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门科学，它的基本特点是高度的抽象性、逻辑的严密性和应用的广泛性。
1. 高度的抽象性
_在他的经典论断“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”中指出，数学的内容不是在头脑中凭空构思出来的，而是从现实世界中经过抽象出来的。我们知道，从具体的事物中抽象出数量关系和空间形式，这是一种抽象能力。它不仅是学习数学的需要，而且是认识事物的基本能力。因此，通过数学学习，培养抽象能力是数学教学的重要任务。
例如，进行相交线的教学中，笔者出示了这样一个问题：如右图，平面上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池。
（1）不考虑其他因素，请画出蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。
（2）计划把河中的水引入蓄水池中，怎样挖可使开凿的水渠最短？说明理由。
本题就是看你能否从实际生活中的问题中抽象出一个纯数学问题来，其实就是利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”来解决实际问题的一个题目，也是相交线在日常生活中运用的充分体现。让学生感受到数学的有用性，自然就增强了他们学习数学的兴趣。
2. 逻辑的严谨性
逻辑的严谨性反映了数学结论的确定性与逻辑结构的严密性。凡是数学结论的获得都要经过严格的演绎推理，从条件出发，根据公理、已证明的定理，按照正确的推理规则得出结论。在新的结论的推证过程中，要步步有依据，处处合乎逻辑要求。因此，通过数学学习培养学生逻辑思维能力是数学教学的基本要求。
例如，在学习三角形三边关系时，笔者问一个个子最大的同学：你一步最多能迈出多远？能通过今天的知识加以说明吗？然后，笔者给同学们一个问题：如果把△ABC的三条边分别记作a，b，c，那么请说明：a+b>c，b+c>a，a+c>b。
本题是利用“两点之间线段最短”的性质来推导“三角形两边之和大于第三边”性质的问题，在于让学生能够运用所学的知识进行推理行为的训练，同时也让他们知道在学习数学时，严谨的逻辑推理是多么重要，而且在我们的日常生活中，也处处都要用到这种数学的逻辑推理思维。
3. 应用的广泛性
数学应用的广泛性，一方面表现在我们日常生活、生产实践中，几乎无处不碰到涉及数量关系和空间形式的问题，都要用到数学知识；另一方面表现在现代科学技术的学习研究中，出现了“数学是一切科学得力的助手和工具”的趋势。数学不仅是它的内容，而且还包括它的思想和方法。同时，数学也是学习物理、化学等课程的工具。因此，向学生传授必需的数学基础知识，培养学生获得知识和运用知识的能力，是数学教学的基本目的。
例如，在学习“利用二次函数性质求最值”时，笔者选了这样一个题：某公司要设计一种无盖的长方体包装箱，用一块正方形木板，其边长为1米，如何设计才能使这个包装箱的容积最大？请画出设计图。 此题在于让学生用所学知识自行设计方案，学以致用，体会数学知识用途之广，同时也强化了数学的应用过程，感觉到以后的学习、生活、工作中确实离不开数学，大大激发了学生学习数学的欲望。
19 世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代，几何，代数，分析等各种分支犹如雨后春笋般竟相发展;函数进入 19 世纪后，概念理论得到了极大的拓展和完善。
1822 年傅立叶发现某些函数可以表示成三角级数，进而提出任何函数都可以展开为三角级数;提出著名的傅立叶级数。使得函数的概念得以改进，把世人对函数的认识推到了一个新的层次。
1823 年，法国数学家柯西从定义变量开始给出了函数的定义，指出无穷级数虽然是定义函数的一种有效方法，但定义函数不是一定要有解析表达式，他提出了“自变量”的概念;他给出的定义是“在某些变数间存在一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”这一定义与现在中学课本中的函数定义基本相同。
1837 年，德国数学家狄利克雷指出：对于在某区间上的每一个确定的`值，都有一个或多个确定的值，那么 y 就叫做 x的函数。狄利克雷的函数定义避免了以往以往函数定义中依赖关系来定义的弊端，简明精确，为大多数数学家所接受。
课堂作为课改的主要阵地，是新课改是否有成效的直接体现。课堂教育的改变要从体现出来的问题入手，让课堂的学习氛围活跃起来，让教学变得趣味些，不再一味的枯燥，提高学生的学习激情和积极性，让学生学会自主学习，提高学习的效率。在教学上，教师不是讲完一个课时就觉得万事大吉了，但也不是讲得越多越好，要以学生接受能力为前提，要有质量的保证，要让学生明白教师只是讲了主要教学重点，其余要让学生自主学会学习，不懂再去问教师，切实提高课堂讲课的效率性。教师要学会“精讲”，把主要教学内容讲清楚，如重点、关键性的问题等。
在上课时的要求：(1)内容要简洁。扣住主题要求，突显重点、关键问题、难点;(2)方式得当。既要能体现出教学目标，又能复合学生的实际情况;(3)言语简洁明了。趣味生动，其提示作用，不要一味的死板，引起学生兴趣和思考。“多练”，是指在教师的指导下，学生能反复的练习，用口、动手、动脑充分运用课堂知识去解决问题，在练习的过程中，教师要起监督和指导作用，练习的内容要得当，要有一定的难度和深度，不要机械重复去练习，要有分寸。通过练习，让学生稳定熟练的掌握所学知识，培养其全面能力，形成技能、技巧。
学生学会思考，去质疑问题，思维的驱动在于质疑，能成为学生的动力，能激发学生的求知欲，让学生变得活跃起来。而以前的旧式教学是以事先确定好的老师问学生答的模式，使得课堂气氛僵硬，学生的问答完全按照教师的套路，根本没什么价值所在，又不能有效的省时,这值得我们去反省。在新的教学中，要让学生自主的去探讨，在自己思考问题过程中，才能发现问题，反之，没有经过自己大脑思考，是不会产生深刻问题的。教师的提问有利于养成自主思考问题的好习惯，提高学生学习效率的一条捷径，那些具有提问思考能力的学生是学到了一项学习能力，因此，我们要激发学生质疑的意识，让他们敢于提问和思考。
比如，①让教师去引导，提出问题让学生找到问题的关键点去解决，在此过程发现问题，进而去思考和解决问题。②教师要提倡学生主动预习，在预习中发现问题，从学习的重点、关键点发现问题，学会从书上的例题中找到解决的方法。③新旧知识的联系。数学知识点都是前后联系的，有许多新的知识是在旧的知识基础上拓展开来的，只要认真思考就能产生许多问题，所以复习旧的知识，也是学习新知识的必要手段。
应用数学是由两个词组成，即应用和数学，一般说来，应用数学包括两个部分，一部分是与应用有关的数学，是传统数学的一支，我们也可以称之为可应用的数学；一部分是数学的应用，是指以数学为工具，探讨解决工程学、科学和社会学等方面的问题。高等数学应用数学的实践是个人打开求职大门的敲门砖，有利于做出明智的判断和理性思维的形成。任何一门科学都不能脱离现实而存在，正所谓认识来源于实践，作为一门应用性极强的高等学科，数学更是不例外。高等数学的应用极其广泛，目前，随着我国科技的进步和发展，更是拓宽了数学运用的应用领域，对现代社会的政治经济和文化都产生着不容忽视的重要作用。
